衛(wèi)生學(xué)電子教材-第八章 計(jì)數(shù)資料的統(tǒng)計(jì)方法 :第二節(jié) 計(jì)數(shù)資料的統(tǒng)計(jì)推斷

本節(jié)和下節(jié)介紹計(jì)數(shù)資料的統(tǒng)計(jì)推斷。本節(jié)介紹最簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)資料是分成兩類，計(jì)數(shù)資料原分成多類但只研究其中特定的一類也可簡(jiǎn)化為兩類——某類和非某類。

兩類構(gòu)成總體為：總個(gè)體數(shù)為N，某類個(gè)體數(shù)為M，非某類個(gè)體數(shù)為N-M。只有一個(gè)總體參數(shù)，據(jù)其實(shí)際含義稱為某類的總體率或總體構(gòu)成比，用π表示，即π=M/N。

率（或構(gòu)成比)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤和均數(shù)的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤其概念相同。從總體率為π的兩類構(gòu)成總體中隨機(jī)抽取含量n的樣本，抽得某類個(gè)體數(shù)X（非某類個(gè)體數(shù)n-X)，算出樣本率p=X/n。由抽樣造成的樣本率和總體率的差別稱為率的抽樣誤差。所有可能的含量n的樣本率構(gòu)成變量為p的總體。樣本率總體中p值的差別是由抽樣誤差造成的�？傮w率π為定值，分析樣本率p的分布情況就可得出抽樣誤差p-π的分布情況。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中證明，含量n的樣本率p的總體均數(shù)為π，標(biāo)準(zhǔn)差為

率的標(biāo)準(zhǔn)差又稱為率的標(biāo)準(zhǔn)誤。率的標(biāo)準(zhǔn)誤是描述率的抽樣誤差的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（變異指標(biāo))，率的標(biāo)準(zhǔn)誤越大，則率的抽樣誤差越大（更確切地說，是抽樣誤差的波動(dòng)程度越大)。

由（8·8)式可見，率的標(biāo)準(zhǔn)誤σ_p的大小決定于總體率π和樣本含量n，n越大，σ_p越小。從同一總體中抽樣，總體率為定值，因此要減小率的標(biāo)準(zhǔn)誤，降低抽樣誤差，只有加大樣本含量。

總體率π一般是未知的，若用樣本率p估計(jì)，則據(jù)（8·8)式，σ_p的樣本估計(jì)值為例8·3 在某鎮(zhèn)按人口的1/20隨機(jī)抽取329人，作血清登革熱血凝抑制抗體反應(yīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)陽性者29人，求陽性率及其標(biāo)準(zhǔn)誤。

該鎮(zhèn)329人血清登革熱血凝抑制抗體反應(yīng)檢驗(yàn)的陽性率為8.81%，標(biāo)準(zhǔn)誤為1.56%。

關(guān)于樣本率p的總體分布，作說明如下：兩類構(gòu)成總體某類率為π，非某類率為1-π。從總體中抽取含量n的樣本，抽得某類個(gè)體數(shù)X和某類率p是不連gydjdsj.org.cn續(xù)的，其取值可能情況為X=0，1，2，…，n，即p=0/n，1/n，2/n，…，n/n。由于抽得某類個(gè)體的概率為π，抽得非某類個(gè)體的概率為1-π，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中證明，p（或X)為上述各種取值的概率等于二項(xiàng)式〔（1-π)+π〕ⁿ。展開后的各項(xiàng)，故p（或X)服從二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布是不連續(xù)的概率分布，有2個(gè)參數(shù)：原總體率π和樣本含量n。π=0.5，二項(xiàng)分布對(duì)稱；π≠0.5，二項(xiàng)分布不對(duì)稱。π和0.5相差越大，二項(xiàng)分布越不對(duì)稱，特別當(dāng)n小時(shí)更是如此。實(shí)際驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n足夠大，π和1-π均不太小，有nπ≥5和n（1-π)≥5時(shí)，二項(xiàng)分布近似正態(tài)分布。因此當(dāng)π＜0.5時(shí)，總體率π越小，需要的樣本含量n越大p分布才近似正態(tài)分布，例如π=0.2，0.1，0.05，則需要的樣本含量至少為n=25，50，100。

和由樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體均數(shù)一樣，由樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體率（或總體構(gòu)成比)有2個(gè)重要方面：區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)gydjdsj.org.cn/jianyan/。先介紹總體率的區(qū)間估計(jì)。

設(shè)兩類構(gòu)成總體某類總體率為π，從中抽取含量n的樣本，抽得某類個(gè)體數(shù)為X，要由樣本估計(jì)總體率π的1-α可信區(qū)間。

算出樣本率p（X/n)，當(dāng)nπ≥5和n（1-π)≥5時(shí)，p近似服從均數(shù)為π、標(biāo)準(zhǔn)差（即標(biāo)準(zhǔn)誤)為σ_p的正態(tài)分布，故標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為

當(dāng)總體率π未知時(shí)，σ_p用其估計(jì)值s_p取代，則近似有

當(dāng)總體率π未知時(shí)，正態(tài)近似條件nπ≥5和n（1-π)≥5用np≥5和n（1-p)≥5取代，由于np=X，因此即樣本中的某類個(gè)體數(shù)X≥5和非某類個(gè)體數(shù)n-X≥5。只要p不接近0或1，n較大即可達(dá)到此要求。在醫(yī)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中，此條件一般容易滿足，故總體率的區(qū)間估計(jì)�？捎谜龖B(tài)近似法。據(jù)（8·11)式，總體率的1-α可信區(qū)間為

u_a值見上章的表7－8（也可見表7－9的ν=∝的t_a值)。常用的是求總體率的95%可信區(qū)間，雙側(cè)u_0.05=1.96，如要提高可信度，則求總體率的99%可信區(qū)間，雙側(cè)u_0.01=2.58。樣本率作為總體率的點(diǎn)估計(jì)處于可信區(qū)間中心。

例8·4求例8·3中某鎮(zhèn)人群血清登革熱血凝抑制抗體反應(yīng)陽性率的95%可信區(qū)間。

在例8·3中已算得p=0.0881，s_p=0.0156，故有：

0.0881±1.96×0.0156=0.0575～0.1187=5.75%～11.87%

該鎮(zhèn)人群血清登革熱血凝抑制抗體反應(yīng)陽性率的95%可信區(qū)間為5.75%～11.87%。

注意的是：若樣本中某類個(gè)體數(shù)X＜5或非某類個(gè)體數(shù)n-X＜5時(shí)，則不宜用正態(tài)近似法求總體率的可信區(qū)間，此時(shí)可據(jù)樣本含量n和某類個(gè)體數(shù)X，查專門醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)書中據(jù)二項(xiàng)分布算得的總體率的可信區(qū)間表。

推斷單個(gè)總體率（或總體構(gòu)成比)π是否等于已知總體率π₀，和推斷兩個(gè)總體率π₁和π₂是否相等，其假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和步驟和總體均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)相同。只是總體均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)其樣本檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為t，稱為t檢驗(yàn)；而總體率的假設(shè)檢驗(yàn)其樣本檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為u，稱為u檢驗(yàn)。

1.樣本率和總體率比較的u檢驗(yàn)從未知總體率π的兩類構(gòu)成總體抽取含量n的樣本，推斷π是否等于π₀（一般為理論率或標(biāo)準(zhǔn)率，如某病用常規(guī)藥的治愈率)。作p和π₀比較的u檢驗(yàn)，據(jù)（8·10)式，計(jì)算u值的公式為

例8·5根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，一般胃潰瘍病患者中有20%發(fā)生胃出血癥狀。現(xiàn)某醫(yī)院觀察65歲以上胃潰瘍病人152例，有48例發(fā)生胃出血癥狀。問老年胃潰瘍病患者是否較容易發(fā)生胃出血？

已知一般胃潰瘍病患者總體的胃出血發(fā)生率π₀為0.2，設(shè)65歲以上老年胃潰瘍患者總體的胃出血發(fā)生率為π，假設(shè)為：

H₀：π=0.2

H₁：π＞0.2

單側(cè)α=0.05

今π₀=0.2，n=152，X=48，

據(jù)（8·13)式有

單側(cè)u_0.01=2.326，現(xiàn)u＞u_0.01，得p＜0.01。按α=0.01水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，認(rèn)為老年胃潰瘍病患者較一般胃潰瘍病患者較容易發(fā)生胃出血。

2.兩個(gè)樣本率比較的u檢驗(yàn)從兩個(gè)未知總體率π₁和π₂的兩類構(gòu)成總體分別抽取含量n₁和n₂的兩個(gè)樣本，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中證明，當(dāng)π₁=π₂=π時(shí)，兩個(gè)樣本率之差p₁-p₂的總體均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為

σ_p1-p2為兩個(gè)率之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，其樣本估計(jì)值為

式中p_c為兩個(gè)樣本的合并率，是π的點(diǎn)估計(jì)。設(shè)p₁=X₁/n₁，p₂=X₂/n₂，則p₂=（X₂+X₂)/（n₁+n₂)或p_c=（n₁p₁+n₂p₂)/（n₁+n₂)。

當(dāng)兩個(gè)樣本滿足正態(tài)近似條件時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為

推斷π₁是否等于π₂，作p₁和p₂比較的u檢驗(yàn)，用（8·16)式計(jì)算u值。

例8·6在某山區(qū)小學(xué)隨機(jī)抽取男生80人，其中肺吸蟲感染23人；隨機(jī)抽取女生85人，肺吸蟲感染13人。問該山區(qū)小學(xué)男生和女生的肺吸蟲感染率有無差別？

設(shè)該山區(qū)小學(xué)男生總體的肺吸蟲感染率為π₁，女生總體的肺吸蟲感染率為π₂，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

今n₁=80，X₁=23；n₁=85，X₂=13。

據(jù)（8·16)式有

雙側(cè)u_0.05=1.96，現(xiàn)u＞u_0.05，p＜0.05，按α=0.05水準(zhǔn)拒絕H₀，接受H₁，認(rèn)為該山區(qū)小學(xué)男生和女生的肺吸蟲感染率有差別，男生高于女生。