可信區(qū)間的估計

　　一、參數(shù)估計的意義

　　一組調(diào)查或?qū)嶒灁?shù)據(jù)，如果是計量資料可求得平均數(shù)，標準差等統(tǒng)計指標，如果是計數(shù)資料則求百分率藉以概括說明這群觀察數(shù)據(jù)的特征，故稱特征值。由于樣本特征值是通過統(tǒng)計求得的，所以又稱為統(tǒng)計量以區(qū)別于總體特征值�？傮w特征值一般稱為參數(shù)（總體量)。我們進行科研所要探索的是總體特征值即總體參數(shù)，而我們得到的卻是樣本統(tǒng)計量，用樣本統(tǒng)計量估計或推論總體參數(shù)的過程叫參數(shù)估計。

　　本章第一節(jié)例6.1通過檢查110個健康成人的尿紫質(zhì)算得陽性率為10%，這是樣本率，可用它來估計總體率，說明健康成人的尿紫質(zhì)陽性率水平，這樣的估計叫“點估計”。但由于存在抽樣誤差，不同樣本（如再檢查110人)可能得到不同的估計值。因此我們常用“區(qū)間估計”總體率（或總體均數(shù))大概在那一個范圍內(nèi)，這個范圍就叫可信區(qū)間。區(qū)間小的一端叫下限，大的一端叫上限。常用的有95%可信區(qū)間與99%可信區(qū)間。根據(jù)同一資料所作95%可信區(qū)間比99%可信區(qū)間窄些（上、下限較靠近)，但估計錯誤的概率后者為1%，前者為5%，進行總體參數(shù)的區(qū)間估計時可根據(jù)研究目的與標準誤的大小選用95%、或99%。

　　二、總體均數(shù)的估計

　　為了說明常用的總體均數(shù)之區(qū)間估計法，我們不妨回顧一下上節(jié)所敘的t分布。

　　由求t的基本公式

　　我們看到X與μ的距離等于t（SX)，又根據(jù)X集中分布在μ周圍的特點，若取t的5%

　　界即t0.05,,（或1%界)乘以SX作為X與μ的距離范圍，就可用式（6.6)或式(6.7)求

　　出區(qū)間來估計總體均數(shù)μ所在范圍，估錯的概率僅有5%或1%，因此稱95%或99%可信區(qū)間。下面用實例說明其求法。

　　95%可信區(qū)間　X-t0.05,νSX<μ

　　99%可信區(qū)間　X-t0.05,νSX<μ

　　例6.2　上面抽樣實驗中第1號樣本的均數(shù)為488.6，標準差為61.65，例數(shù)10，自由度ν=10-1=9，試求95%與99%可信區(qū)間。

　　1．求標準誤
　

　　95%可信區(qū)間　488.6-2.262(19.50)<μ<488.6+2.262(19.50),即有95%的把握估計μ是在444.49～532.71區(qū)間內(nèi)

　　99%可信區(qū)間　488.6-3.250(19.50)<μ<488.6+3.250(19.50),可有99%的把握估計μ是在425.22～551.98區(qū)間內(nèi)

　　這里兩個可信區(qū)間都包含μ=500在內(nèi)，所以這次估計是估計對了。

　　抽樣實驗共抽了100個樣本，除1號樣本外其余99個樣本均數(shù)也對μ作了區(qū)間估計，這些95%可信區(qū)間列在表6.4中。我們看到，只有5個95%可信區(qū)間（右上角標有星號)不包含總體均數(shù)μ=500在內(nèi)，它們是：

　　平時我們并不重復抽取許多樣本來一次次估計總體均數(shù)而僅是一次，至于算出的均數(shù)會類似一百個樣本均數(shù)中的那一個就很難說了。如果不遇到類似上列那些均數(shù)過大或過小的樣本，求出可信區(qū)間后總體均數(shù)真是在該區(qū)間內(nèi)，那么便是一次成功的估計：但是極少數(shù)情況下我們也會遇到極端的樣本，以至總體均數(shù)并不在我們提出的區(qū)間內(nèi)。不過，我們具體所作的這次估計到底屬于前種情況還是后一種，這是無法知道的，因為我們不知道μ是多少（若已知μ便不必估計它了)。然而象后種情況那樣作出錯估的概率終究很小，只5%或1%，所以用這樣的方法估計總體均數(shù)還是可行的。

　　三、總體率的估計

　　上面已經(jīng)提到，計數(shù)資料可以計算相對數(shù)（率)。我們?nèi)粲蓸颖窘y(tǒng)計量P估計總體參數(shù)π，同樣要考慮率的抽樣誤差，據(jù)數(shù)理統(tǒng)計研究結(jié)果，樣本率的分布也近似正態(tài)分布，尤其當π比較靠近50%且樣本較大時。于是對樣本，百分率的可信區(qū)間可利用正態(tài)分布規(guī)律估計，公式是：

　　95%可信區(qū)間　P-1.96Sp<π

　　99%可信區(qū)間　P-2.58Sp<π

　�。ò凑龖B(tài)分布，雙側(cè)尾部面積α=0.05時的u值為1.96，α=0.01時的u值為2.58，故用這兩式求可信區(qū)間時不必查表找臨界u值，記住這兩數(shù)即可。)

　　例6.3　某醫(yī)院收治200例急性菌痢患者，其中糞便細菌培養(yǎng)陽性者共80例，試估計菌痢細菌培養(yǎng)的總體陽性率95%與99%可信區(qū)間。

　　1.求陽性率　P＝80／200×100％＝40％　 （或0.40)

　　2.

　　3．求可信區(qū)間

　　95%可信區(qū)間　40%-1.96(3.46%)<π<40%+1.96(3.46%)，即估計π在33.22%～46.78%之間

　　99%可信區(qū)間　40%-2.58(3.46%)<π<40%+2.58(3.46%)，即估計π在31.07%～48.93%之間

　　如果是小樣本的百分率，求可信區(qū)間可通過查表獲得，附表4是n為10、15、20、30時查95%與99%可信區(qū)間的一個簡表。此外，統(tǒng)計學專著中還有更詳細的表可查。