直線相關(guān)

　　一、相關(guān)系數(shù)的意義

　　相關(guān)分析是用相關(guān)系數(shù)（r)來表示兩個(gè)變量間相互的直線關(guān)系，并判斷其密切程度的統(tǒng)計(jì)方法。相關(guān)系數(shù)r沒有單位。在-1～+1范圍內(nèi)變動(dòng)，其絕對(duì)值愈接近1，兩個(gè)變量間的直線相關(guān)愈密切，愈接近0，相關(guān)愈不密切。相關(guān)系數(shù)若為正，說明一變量隨另一變量增減而增減，方向相同；若為負(fù)，表示一變量增加、另一變量減少，即方向相反，但它不能表達(dá)直線以外（如各種曲線)的關(guān)系。

　　為判斷兩事物數(shù)量間有無相關(guān)，可先將兩組變量中一對(duì)對(duì)數(shù)值在普通方格紙上作散點(diǎn)圖，如圖9.1～9.8所示。圖中點(diǎn)子的分布可出現(xiàn)以下幾種情況：

　　正相關(guān)——見圖9.1，各點(diǎn)分布呈橢圓形，Y隨X的增加而增加，X亦隨Y的增加而增加，此時(shí)1>r>0。橢圓范圍內(nèi)各點(diǎn)的排列愈接近其長(zhǎng)軸，相關(guān)愈密切，當(dāng)所有點(diǎn)子都在長(zhǎng)軸上時(shí)，r=1（見圖9.2)，稱為完全正相關(guān)。

　　負(fù)相關(guān)——見圖9.3，各點(diǎn)分布亦呈橢圓形，Y隨X的增加而減少，X也隨Y的增加而減少，此時(shí)0>r>-1。各點(diǎn)排列愈接近其長(zhǎng)軸，相關(guān)愈密切，當(dāng)所有點(diǎn)子都在長(zhǎng)軸上時(shí)，r=1（見圖9.4)，稱為完全負(fù)相關(guān)。

　　在生物現(xiàn)象中，完全正相關(guān)或完全負(fù)相關(guān)甚為少見。

　　無相關(guān)——見圖9.5、圖9.6和圖9.7，X不論增加或減少，Y的大小不受其影響；反之亦然。此時(shí)r=0。另外，須注意有時(shí)雖然各點(diǎn)密集于一條直線，但該直線與X軸或Y軸平行，即X與Y的消長(zhǎng)互不影響，這種情況仍為無相關(guān)。

　　非線性相關(guān)——見圖9.8，圖中各點(diǎn)的排列不呈直線趨勢(shì)，卻呈某種曲線形狀，此時(shí)r≈0，類似這種情況稱為非線性相關(guān)。

圖9.1—9.8　不同相關(guān)系數(shù)的散點(diǎn)示意圖

　　二、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及假設(shè)檢驗(yàn)

　�。ㄒ�)相關(guān)系數(shù)計(jì)算法

　　計(jì)算相關(guān)系數(shù)的基本公式為：

（9.1)

　　式（9.1)中r為相關(guān)系數(shù)，∑（X-X)²為X的離均差平方和，∑（Y-Y)²為Y的離均差平方和，∑（X-X)（Y-Y)為X與Y的離均差乘積之和，簡(jiǎn)稱離均差積之和，此值可正可負(fù)。以此式為基礎(chǔ)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法稱積差法，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)式（9.1)中各離均差平方和（簡(jiǎn)稱差方和)與積之和可化為

　（9.2)

　　現(xiàn)舉例說明計(jì)算相關(guān)系數(shù)的一般步驟：

　　例9.1　測(cè)定15名健康成人血液的一般凝血酶濃度（單位/毫升)及血液的凝固時(shí)間（秒)，測(cè)定結(jié)果記錄于表9.1第（2)、（3)欄，問血凝時(shí)間與凝血酶濃度間有無相關(guān)？

　　1．繪圖，將表9.1第（2)、（3)欄各對(duì)數(shù)據(jù)繪成散點(diǎn)圖，見圖9.9。

　　2．求出∑X、∑Y、∑X²、∑Y²、∑XY，見表9.1下方。

　　3，代入公式，求出r值。

圖9.9　凝血時(shí)間與凝血酶濃度散點(diǎn)圖及回歸直線

表9.1　相關(guān)系數(shù)計(jì)算表

　　∑X=15.1　∑Y=222
　　　　　　　　　　　　　 ∑XY=221.7　
　∑X²=15.41∑Y²=3304 　　　　

　　本例的相關(guān)系數(shù)r=-0.9070，負(fù)值表示血凝時(shí)間隨凝血酶濃度的增高而縮短；絕對(duì)值∣-0.9070∣表示這一關(guān)系的密切程度。至于此相關(guān)系數(shù)是否顯著，則要經(jīng)過下面的分析。

　�。ǘ�)相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

　　雖然樣本相關(guān)系數(shù)r可作為總體相關(guān)系數(shù)ρ的估計(jì)值，但從相關(guān)系數(shù)ρ=0的總體中抽出的樣本，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)r，因?yàn)橛谐闃诱`差，故不一定是0，要判斷不等于0的r值是來自ρ=0的總體還是來自ρ≠0的總體，必須進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)假設(shè)是ρ=0，r與0的差別是否顯著要按該樣本來自ρ=0的總體概率而定。如果從相關(guān)系數(shù)ρ=0的總體中取得某r值的概率P>0.05，我們就接受假設(shè)，認(rèn)為此r值的很可能是從此總體中取得的。因此判斷兩變量間無顯著關(guān)系；如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我們就在α=0.05或α=0.01水準(zhǔn)上拒絕檢驗(yàn)假設(shè)，認(rèn)為該r值不是來自ρ=0的總體，而是來自ρ≠0的另一個(gè)總體，因此就判斷兩變量間有顯著關(guān)系。

　　由于來自ρ-0的總體的所有樣本相關(guān)系數(shù)呈對(duì)稱分布，故r的顯著性可用t檢驗(yàn)來進(jìn)行。本例r=-0.9070，進(jìn)行t檢驗(yàn)的步驟為：

　　1．建立檢驗(yàn)假設(shè)，H₀：ρ=0，H₁：ρ≠0，α=0.01

　　2．計(jì)算相關(guān)系數(shù)的r的t值：

　�。�9.3)

　　3．查t值表作結(jié)論

　　ν=n-2=15-2=13

　　根據(jù)專業(yè)知識(shí)知道凝血酶濃度與凝血時(shí)間之間不會(huì)呈正相關(guān)，故宜用單側(cè)界限，查t值表得

　　t_0.01,13=2.650

　　今∣t_r∣>t_0.01,13，P<0.01，在α=0.01水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H₁，故可認(rèn)為凝血時(shí)間的長(zhǎng)短與血液中酶濃度有負(fù)相關(guān)。

　　為簡(jiǎn)化t_r檢驗(yàn)的計(jì)算過程，數(shù)理統(tǒng)計(jì)工作者根據(jù)t分配表，已把不同自由度時(shí)r的臨界值求出，并列成相關(guān)系數(shù)界值表（見附表11)。故求相關(guān)系數(shù)后，只需查表就可知道該r值是否顯著，而不必再計(jì)算t_r值。

　　r的顯著性界限為

　　|r|0.05,ν　P>0.05　相關(guān)不顯著

　　r_0.05,,≤|r|<_r0.01,,　0.05≥P>0.01　

　　在α=0.05水準(zhǔn)上相關(guān)顯著

　　|r|≥r_0.01,, 　P≤0.01　在α=0.01水準(zhǔn)上相關(guān)顯著

　　例9.1的ν =15-2=13，查附表11中P^（1)的界值，得：

　　r_0.05,13=0.441r_0.01,13=0.592

　　現(xiàn)r=-0.9070,∣r∣>r_0.01,13,P<0.01,按α=0.01水準(zhǔn)，拒絕H_O,接受H₁。認(rèn)為ρ≠0，說明凝血時(shí)間的長(zhǎng)短與血液中凝血酶濃度有負(fù)相關(guān)。結(jié)論與計(jì)算所得一致。

　　相關(guān)系數(shù)的顯著性與自由度的大小有關(guān)，如n=3,ν=1時(shí)，雖r=-0.9070，卻為不顯著；若ν=400時(shí)，即使r=0.1000，亦為顯著。因此不能只看r的值，不考慮ν就下結(jié)論。