一、檢驗(yàn)的一般步驟
1．資料 這里所要的是類似第七章第一節(jié)三、中所述的成組資料，不過(guò)現(xiàn)在不是兩組而是多組，如下例。
例8.1 分泌型免疫球蛋白A（SIgA)是胃腸道分泌液、淚液等外分泌液中的主要免疫球蛋白類，某院研制了“125I－SIgA放射免疫測(cè)定藥盒”，為人體SIgA的檢驗(yàn)提供了一種簡(jiǎn)便方法。為比較不同批號(hào)藥盒檢驗(yàn)結(jié)果是否一致，該院曾將三批號(hào)各四個(gè)藥盒一一測(cè)定了某一標(biāo)本得結(jié)果如下，試作方差分析。
表8.1 三個(gè)批號(hào)藥盒的SIgA放射免疫測(cè)定值
| 批號(hào) | SIgA含量（μg/ml), X | ∑X | n | X | ∑X2 | ∑X2-(∑X)2/n | |||
| 1 | 1.92 | 1.80 | 2.08 | 2.00 | 7.80 | 4 | 1.95 | 15.2528 | 0.0428 |
| 2 | 2.21 | 2.25 | 2.12 | 2.57 | 9.15 | 4 | 2.29 | 21.0459 | 0.1153 |
| 3 | 3.27 | 2.75 | 2.90 | 3.10 | 12.02 | 4 | 3.01 | 36.2754 | 0.1553 |
| 合計(jì) | 28.97 | 12 | 2.414 | 72.5741 | 0.3134 | ||||
2. 分析 從表8.1的測(cè)定結(jié)果可以看出這里有三種變異：
�。�1)從同一批號(hào)藥盒的四次測(cè)定結(jié)果看，不盡相同，這是組內(nèi)變異。顯然它不是由于批號(hào)不同的影響，而只是由于誤差（如批內(nèi)各藥盒的差異性和測(cè)量誤差等)造成的。
（2)從各批測(cè)定值的均數(shù)來(lái)看，是不相同的，這是組間變異，表明各批藥盒性能質(zhì)量也許對(duì)測(cè)得的結(jié)果有一定影響，也包括誤差的作用。
（3)12次測(cè)定的SIgA含量都不盡相同，有高有低，它們既可能受藥盒來(lái)自不同批號(hào)的影響，也包括組內(nèi)變異，因此稱為總變異。
那么這里各批藥盒測(cè)SIgA均值間的差別，只不過(guò)是抽樣誤差的反映呢？還是藥盒制作質(zhì)量不穩(wěn)定，批間存在顯著差別？為了得出正確的結(jié)論，可進(jìn)行方差分析。方差分析的基本甲思想是：①?gòu)目傋儺愔蟹殖鼋M間變異和組內(nèi)變異，并用數(shù)量表示變異的程度；②將組間變異和組內(nèi)變異進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說(shuō)明受批號(hào)不同的影響不大；如果兩者相差較大，組間變異比組內(nèi)變異大得多，說(shuō)明批號(hào)不同的影響不容忽視。下面我們根據(jù)表8.1資料來(lái)計(jì)算這三種變異。
�。�1)總離均差平方和：即12個(gè)觀察值各與總均數(shù)相差的平方之和，公式為
(8.1)
式中SS總即總離均差平方和，Xij表示第i組的第j個(gè)觀察值，X為全部觀察值的平均數(shù)，k是組數(shù)。
本例SS總=72.5741-28.972/12=2.6357
�。�2)組間離均差平方和：即取各組均數(shù)代替該組各觀察值后，它們分別與總均數(shù)相差的平方之和，公式為
(8.2)
�。�3)組內(nèi)離均差平方和：只要加總各組本身的離均差平方和即得，公式為
(8.3)
由本例計(jì)算結(jié)果可以看出，SS組間+SS組內(nèi)=SS總，如2.3223+0.3134=2.6357。因此，算出SS總以后再計(jì)算SS組間、SS組內(nèi)兩者中之一個(gè)，其余一個(gè)便可通過(guò)減法求得。
將以上求得的幾種變異各除以自由度后得均方。自由度的計(jì)算公式分別為
總變異 N-1 （N為各組例數(shù)之和)（ 8.4)
組間變異 K-1 �。�8.5)
組內(nèi)變異 N-K （8.6)
組間均方與組內(nèi)均方之比為F值，
F＝組間均方/組內(nèi)均方 �。�8.7)
本例
將以上數(shù)據(jù)列入下面的方差分析表可使人一目了然。
表8.2 方差分析表
| 變異來(lái)源 | 離均差平方和 | 自由度 | 均 方 | F |
| 總 變 異 | 2.6357 | 11 | ||
| 組間變異 | 2.3223 | 2 | 1.1612 | 33.368 |
| 組內(nèi)變異 | 0.3134 | 9 | 0.0348 |
如果求得的F值小于1或略大于1，也即組間變異與組內(nèi)變異差不多，則關(guān)于不同批藥盒所致影響就不值得注意，反之，若各批均數(shù)間差別甚大，組間變異比組內(nèi)變異大得多，說(shuō)明不能只把它看成為誤差的表面，很可能不同批藥盒的測(cè)定值具有差別�，F(xiàn)F值遠(yuǎn)大于1，若等于或大于某α水準(zhǔn)下的臨界F值，便將拒絕檢驗(yàn)假設(shè)H0而接受備擇假設(shè)H1。
本例定α=0.05,查附表8F值表，F(xiàn)0.05(2,9)=4.26。括弧內(nèi)2為求F值時(shí)分子（也即較大均方)的自由度，9為分母的自由度，今F=33.368，遠(yuǎn)大于此臨界值4.26,故P<0.05，說(shuō)明不同批藥盒的影響不容忽視，各批藥盒測(cè)定的SIgA值相差顯著。
二、多個(gè)均數(shù)間的兩兩比較
經(jīng)方差分析（即F檢驗(yàn))，若各組均數(shù)之間差別不顯著，則到此為止，不必作進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)學(xué)處理了。當(dāng)F檢驗(yàn)結(jié)果為相差顯著時(shí)，這只是對(duì)各組均數(shù)的整體而言，至于哪些均數(shù)間的差別顯著，哪些不顯著，還要作如下進(jìn)一步分析。
本例檢驗(yàn)結(jié)果為相差顯著，這里我們先用較為簡(jiǎn)單而實(shí)用的最小顯著差數(shù)法來(lái)比較三組中每?jī)山M均數(shù)間的差別是否顯著，然后介紹q值法。
1．最小顯著差數(shù)法
�。�1)計(jì)算最小顯著性差數(shù)Dα，ν
Dα，ν＝t，
(8.8)
式中t，由附表3查得，查時(shí)自由度ν用方差分析表中組內(nèi)變異的自由度，本例為9；α即顯著性水準(zhǔn)，常用0.05或0.01，本例查得兩個(gè)臨界t值即t0.05,9=2.262，t0.01,9=3.250。標(biāo)準(zhǔn)誤
的計(jì)算公式是
(8.9)
S2組內(nèi)也即表8.2中的組內(nèi)均方（也可叫誤差均方)0.0348。nA、nB為所比較的兩組的例數(shù)，本例各組例數(shù)都為4�，F(xiàn)將數(shù)據(jù)代入式（8.9)、（8.8)求得
�。�2)用上述的最小顯著性差數(shù)與每?jī)山M均數(shù)的相差數(shù)比，若后者大于前者（臨界值)，便相差顯著，若小于前者，為相差不顯著�，F(xiàn)將兩均數(shù)間的比較結(jié)果列于下表。
表8.3 均數(shù)間兩兩比較
| A與B （批號(hào)) | ∣XA-XB∣ | 界值 | P值 | |
| D0.05 | D0.01 | |||
| 1與2 | 0.34 | 0.298 | 0.429 | <0.05 |
| 1與3 | 1.06 | 0.298 | 0.429 | <0.01 |
| 2與3 | 0.72 | 0.298 | 0.429 | <0.01 |
注：表中XA-XB兩側(cè)的直杠是絕對(duì)值符號(hào)。
3．統(tǒng)計(jì)結(jié)論：各批間均在α=0.05水準(zhǔn)處相差顯著，又第3批與第1、2兩批比，P<0.01，說(shuō)明各批藥盒對(duì)SIgA的檢測(cè)效果不一致，批號(hào)3遠(yuǎn)高于批號(hào)2與1。
上面介紹的多個(gè)均數(shù)間兩兩比較的方法雖較簡(jiǎn)便，精確性有時(shí)不足，尤其當(dāng)比較的均數(shù)不是在三個(gè)而是更多，或各樣本含量不相等時(shí)應(yīng)用也較麻煩。下面介紹查臨界q值而不查t值的另一比較方法。
2．q值法
�。�1)將表8.1中三個(gè)均數(shù)自大至小排列得：
| 第3批 | 第2批 | 第1批 | |
| SIgA平均值，X（μg/ml) | 3.01 | 2.29 | 1.95 |
| 秩次 | 1 | 2 | 3 |
| 樣本含量，n | 4 | 4 | 4 |
�。�2)用組內(nèi)均方與平均每組例數(shù)n0求出標(biāo)準(zhǔn)誤，然后與由附表9中查到的臨界q值相乘，即可列出比較表加以比較。下面是求平均例數(shù)的公式。
�。╥=1,2,…,k) (8.10)
此例 
本例各組樣本大小相等，均為4，本無(wú)須用上式計(jì)算，但若各組大小不等時(shí)就得用上式求平均例數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)誤公式為
(8.11)
此例
表8.4 均數(shù)間兩兩比較
| A與B （秩次) | 組數(shù)α | ∣XA-XB∣ | Q0.05(a,ν)Sχ | ν見(jiàn)組內(nèi)變異一行 P值 |
| 3與2 | 2 | 0.34 | 0.299 | <0.05 |
| 3與1 | 3 | 1.06 | 0.369 | <0.05 |
| 2與1 | 2 | 0.72 | 0.299 | <0.05 |
現(xiàn)將上表欄目自左至右一一說(shuō)明如下：
表內(nèi)左側(cè)，均數(shù)大小秩次3與2比，即相鄰兩組相比，故組數(shù)a等于2。同樣，第三行的2與1比，因2與1相鄰，a也是2，3與1比則由3到1組數(shù)有3，a等于3。關(guān)于查附表9中的q值，一方面根據(jù)該表上端橫行a的數(shù)字，另方面根據(jù)表左側(cè)直行的ν，也即方差分析表中組內(nèi)（或誤差)項(xiàng)的自由度（本例為9)來(lái)查。表內(nèi)q值有上、下兩行數(shù)，若定α為0.05，查上行，α為0.01則查下行。
就本例言，用兩種方法作均數(shù)間兩兩比較，其結(jié)論完全一致。
例8.2 下表為用動(dòng)物研究白血病時(shí)測(cè)得的鼠脾DNA（脫氧核糖核酸)含量，現(xiàn)作方差分析，比較四個(gè)不同病情組的均數(shù)相差是否顯著。
表8.5 鼠脾DNA含量測(cè)定值（mg)
| 正常組 | 患自發(fā)性 白血病組 |
患移植白血病 | 總 計(jì) | ||
| 甲組 | 乙組 | ||||
| 12.3 | 10.8 | 9.3 | 9.5 | ||
| 13.2 | 11.6 | 10.3 | 10.3 | ||
| 13.7 | 12.3 | 11.1 | 10.5 | ||
| 15.2 | 12.7 | 11.7 | 10.5 | ||
| 15.4 | 13.5 | 11.7 | 10.5 | ||
| 15.8 | 13.5 | 12.0 | 10.9 | ||
| 16.9 | 14.8 | 12.3 | 11.0 | ||
| 17.3 | 12.4 | 11.5 | |||
| 13.6 | |||||
| ∑Xijj | 119.8 | 89.2 | 104.4 | 84.7 | 398．1 |
| ni | 8 | 7 | 9 | 8 | 32 |
| Xi | 14.98 | 12.74 | 11.60 | 10.59 | 12．44 |
| ∑X2ijj | 1815.96 | 1147.32 | 1223.58 | 899.15 | 5086．01 |
| SSi | 21.96 | 10.66 | 12.54 | 2.39 | 47．55 |
1．作檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ1=μ2=μ3=μ4，H1：各總體均數(shù)不都相等。α=0.01。
2．用表8.5下部數(shù)字計(jì)算離均差平方和：簡(jiǎn)法是先求校正數(shù)C=(∑X)2/N=398.12/32，再求
SS總：5086.01-(398.1)2/32=133.40
SS組間：(119.8)2/8+(89.2)2/7+(104.4)2/9+(84.7)2/8-(398.1)2/32=85.85
SS組內(nèi)：133.40-85.85=47.55
3．列出方差分析表
表8.6 方差分析表
| 變異來(lái)源 | 自由度 | 離均差平方和 | 均方 | F |
| 總 計(jì) | 31 | 133.40 | ||
| 組 間 | 3 | 85.85 | 28.62 | 16.48 |
| 組 內(nèi) | 28 | 47.55 | 1.70 |
4．查F值表，下結(jié)論�？锤奖�8（3)，根據(jù)求F值時(shí)組間均方較大，于是用其自由度3及組內(nèi)均方的自由度28查得F0.01(3,28)=4.57，今F=16.84>F0.01(3,28)=4.57，故在α=0.01水準(zhǔn)處相差顯著，P<0.01。四組鼠脾的DNA含量不等。（注：F小于1時(shí)無(wú)須查表)。
5．為詳細(xì)分析每?jī)山M間的相差情況，作兩兩比較如下。（因各組例數(shù)不等又組數(shù)較多，故用Q值法比較)。
�。�1)將四組均數(shù)按大小排列：
| 正常組 | 患白發(fā)性白血病組 | 患移植白血病 | ||
| 甲組 | 乙組 | |||
| DNA平均含量(mg) | 14.98 | 12.74 | 11.60 | 10.59 |
| 秩次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 樣本含量，n | 8 | 7 | 9 | 8 |
(2)求平均例數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)誤：由式（8.10)與式（8.11)計(jì)算得
�。�3)列表比較：
表8.7 均數(shù)間兩兩比較
| A與b （秩次) | 組數(shù)a | ∣XA-XB∣ | 界 值 | P值 | |
| q0.05Sχ | q0.01Sχ | ||||
| 4與3 | 2 | 1.01 | 1.36 | 1.86 | >0.05 |
| 4與2 | 3 | 2.15 | 1.65 | 2.14 | <0.01 |
| 4與1 | 4 | 4.39 | 1.83 | 2.32 | <0.01 |
| 3與2 | 2 | 1.14 | 1.36 | 1.86 | >0.05 |
| 3與1 | 3 | 3.38 | 1.65 | 2.14 | <0.01 |
| 2與1 | 2 | 2.24 | 1.36 | 1.86 | <0.01 |
注：本例組內(nèi)均方的自由度為28但q值表中左側(cè)無(wú)28，故用鄰近的較小自由度20，此外也可用內(nèi)插法求出γ為28的q值。
比較結(jié)果，除患移植性白血病甲、乙組間；甲組與自發(fā)性白血病組間（即按均數(shù)大小秩次3與4、3與2間)相差不顯著外，余均在α=0.01水準(zhǔn)處相差顯著，說(shuō)明正常鼠脾DNA含量最高，患移植白血病乙組的最低。
