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醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)教案-第九章 相關(guān)和回歸分析:9.2 教案回歸

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)教案第九章 相關(guān)和回歸分析:9.2 教案回歸:南方醫(yī)科大學(xué)教案2007—2008學(xué)年秋季學(xué)期所在單位公共衛(wèi)生與熱帶醫(yī)學(xué)學(xué)院系、教研室生物統(tǒng)計(jì)學(xué)系課程名稱衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)授課對象2004級預(yù)防醫(yī)學(xué)本科授課教師閻玉霞職稱講師教材名稱衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)南方醫(yī)科大學(xué)教案首頁授課題目簡單回歸分析授課形式講授授課時(shí)間2007-12-11授課學(xué)時(shí)

南方醫(yī)科大學(xué)

教 案

2007   2008  學(xué)年  秋 季學(xué)期

所在單位   公共衛(wèi)生與熱帶醫(yī)學(xué)學(xué)院 

系、教研室   生物統(tǒng)計(jì)學(xué)系

課程名稱  衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)  

授課對象  2004級預(yù)防醫(yī)學(xué)本科 

授課教師  閻玉霞  

職 稱   講師 

教材名稱衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)

南方醫(yī)科大學(xué)教案首頁

授課題目

簡單回歸分析

授課形式

講授

授課時(shí)間

2007-12-11

授課學(xué)時(shí)

3

教學(xué)目的

與 要 求

了解回歸的思想來源

掌握線性回歸方程的計(jì)算,回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)的思想和步驟

了解回歸方程的應(yīng)用

基本內(nèi)容

1. 回歸思想的來源

2. 散點(diǎn)圖、線性回歸方程

3. 回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

4. 回歸系數(shù)與預(yù)測值的區(qū)間估計(jì)

5. 回歸方程的應(yīng)用及注意事項(xiàng)

重 點(diǎn)

難 點(diǎn)

其中,1、4、5為了解內(nèi)容,2、3為重點(diǎn)內(nèi)容,對最小二乘法和可信區(qū)間與容許區(qū)間的區(qū)別的理解是難點(diǎn)(了解)。

主要教學(xué)

媒 體

多媒體投影儀

主 要 外

語 詞 匯

regression coefficient,  linear regression analysis, linear, independent , normal,  equal variance

有關(guān)本內(nèi)容的新進(jìn)展

主要參考資料或相關(guān)網(wǎng)站

http://www.smmu.edu。cn/zykj/~statistics/index/index.htm

1. 徐勇勇主編. 醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版). 北京:高等教育出版社,2004

2. 楊樹勤主編. 衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版). 北京:人民衛(wèi)生出版社,1991

3. 方積乾主編. 醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)與電腦實(shí)驗(yàn)(第二版). 上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,2001

4. 孫振球主編. 醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)(供研究生用). 北京:人民衛(wèi)生出版社,2004

系、教研室

審查意見

課后體會(huì)

南方醫(yī)科大學(xué)教案

教學(xué)內(nèi)容

時(shí)間分配和

媒體選擇

第十二章 簡單回歸分析

第一節(jié)  簡單線性回歸

導(dǎo)入

一、線性回歸的概念及其統(tǒng)計(jì)描述

1 線性回歸的概念

2直線回歸方程的求法

3最小二乘法

二、回歸模型的前提假設(shè)

線性(linear)

獨(dú)立(independent)

正態(tài)(normal)

等方差(equal variance)

三、回歸系數(shù)的估計(jì)

例題

解題步驟

1.由原始數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖觀察兩變量間是否有直線趨勢

2.計(jì)算、的均數(shù)、,離均差平方和、與離均差積和

3.計(jì)算有關(guān)指標(biāo)的值

4.計(jì)算回歸系數(shù)和截距

5.列出回歸方程

四、總體回歸系數(shù)β的統(tǒng)計(jì)推斷

應(yīng)變量的離均差平方和作分析。

方差分析法 舉例

T檢驗(yàn)法   舉例

第二節(jié)  線性回歸的應(yīng)用

一、總體回歸線的95%置信帶

二、個(gè)體Y預(yù)測值的區(qū)間估計(jì)

第三節(jié)  殘差分析

回歸方程的應(yīng)用

回歸分析的注意事項(xiàng)

小結(jié)

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教學(xué)進(jìn)程

教學(xué)內(nèi)容

時(shí)間分配

媒體選擇

第十二章 gydjdsj.org.cn/zhicheng/簡單回歸分析

第一節(jié)  簡單線性回歸

導(dǎo)入

兩變量之間的關(guān)系

無關(guān)系

確定性關(guān)系

有關(guān)系

非確定性關(guān)系

確定性關(guān)系:已知一個(gè)變量能精確求出另一個(gè)變量的值,兩變量是完全對應(yīng)的。例:S=VT,C=2pr。

非確定性關(guān)系:兩變量存在某種關(guān)系,但非完全一一對應(yīng)關(guān)系,而是有某種趨勢。例:正常人收縮壓隨年齡增高而增高,但不能講某一年齡的人血壓一定是多少。

兩個(gè)或更多變量之間的關(guān)系,如:

廣告費(fèi)支出~商品銷售額

受教育程度~收入水平

藥物劑量~動(dòng)物死亡率

年齡、體重~血壓

 回歸與相關(guān)的思想來源

Francis Galton (1822-1911)和Karl Pearson (1890-1920)

“Regression toward mediocrity in heredity stature”

Journal of the Anthropological Institute, 1886, 15: 246 – 263

Ÿ  父親身高(X)~兒子身高(Y)

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教學(xué)過程

教學(xué)內(nèi)容

時(shí)間分配

媒體選擇

依存關(guān)系:應(yīng)變量(dependent variable)Y隨自變量(independent variable )X變化而變化     ——回歸分析

Ÿ  姐妹身高(X)~兄弟身高(Y)

互依關(guān)系:變量X Y 之間的彼此關(guān)系

——相關(guān)分析

一、線性回歸的概念及其統(tǒng)計(jì)描述(linear regression analysis)

直線回歸的概念 

目的:研究應(yīng)變量Y對自變量X的數(shù)量依存關(guān)系。

特點(diǎn):統(tǒng)計(jì)關(guān)系。 X值和Y的均數(shù)的關(guān)系,

不同于一般數(shù)學(xué)上的X 和Y的函數(shù)關(guān)系

為了直觀地說明直線回歸的概念,以15名健康人凝血酶濃度(X)與凝血時(shí)間(Y)數(shù)據(jù)(表12-1)進(jìn)行回歸分析,得到圖12-1所示散點(diǎn)圖(scatter plot)

圖12-1 15名健康人凝血酶濃度(X)與凝血時(shí)間(Y)散點(diǎn)圖

由圖12-1可見,凝血時(shí)間隨凝血酶濃度的增加而減低且呈直線趨勢,但并非所有點(diǎn)子恰好全都在一直線上,此與兩變量間嚴(yán)格的直線函數(shù)關(guān)系不同,稱為直線回歸(linear regression),其方程叫直線回歸方程,以區(qū)別嚴(yán)格意義的直線方程。回歸是回歸分析中最基本、最簡單的一種,故又稱簡單回歸。

直線回歸方程的求法

直線回歸方程的一般表達(dá)式為

為回歸直線在軸上的截距(intercept)。>0,表示直線與縱軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的上方;<0,則交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方;=0,則回歸直線通過原點(diǎn)。

為回歸系數(shù)(regression coefficient),即直線的斜率(slope)。>0,表示直線從左下方走向右上方,即增大而增大;<0,表示直線從左上方走向右下方,即增大而減。=0,表示直線與軸平行,即無直線關(guān)系。由公式可以看出的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是每增加(減)一個(gè)單位,平均改變個(gè)單位。

為了求解、兩個(gè)系數(shù),根據(jù)數(shù)學(xué)上的最小二乘法(least square method)原理, 保證各實(shí)測點(diǎn)至直線的縱向距離的平方和最小,故又稱最小二乘回歸

二、回歸模型的前提假設(shè)

線性回歸模型的前提條件是:

線性(linear)

獨(dú)立(independent)

正態(tài)(normal)

等方差(equal variance)

回歸參數(shù)的估計(jì)
——最小二乘原則

Ø殘差(residual)或剩余值,即實(shí)測值Y與假定回歸線上的估計(jì)值 的縱向距離   。

Ø求解ab實(shí)際上就是“合理地”找到一條能最好地代表數(shù)據(jù)點(diǎn)分布趨勢的直線。

原則:最小二乘法(least sum of squares),即可保證各實(shí)測點(diǎn)至直線的縱向距離的平方和最小

三、回歸系數(shù)的估計(jì)

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教學(xué)內(nèi)容

時(shí)間分配

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。

可導(dǎo)出的算式如下

本例:n=15   ΣX=14.7 ΣX2=14.81   ΣY=224  ΣXY=216.7  ΣY2=3368

 

幾個(gè)公式

均數(shù):   =,

 

教學(xué)內(nèi)容

時(shí)間分配

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離均差平方和:

=

離均差乘積和:

除了圖中所示兩變量呈直線關(guān)系外,一般還假定每個(gè)對應(yīng)的總體為正態(tài)分布,各個(gè)正態(tài)分布的總體方差相等且各次觀測相互獨(dú)立。這樣,公式(12-2)中的實(shí)際上是所對應(yīng)的總體均數(shù)的一個(gè)樣本估計(jì)值,稱為回歸方程的預(yù)測值(predicted value),而分別為的樣本估計(jì)。

解題步驟

1.由原始數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖觀察兩變量間是否有直線趨勢

2.計(jì)算的均數(shù)、,離均差平方和、與離均差積和。

3.計(jì)算有關(guān)指標(biāo)的值

4.計(jì)算回歸系數(shù)和截距

5.列出回歸方程

繪制回歸直線

此直線必然通過點(diǎn)(  ,  )且與縱坐標(biāo)軸相交于截距a 。如果散點(diǎn)圖沒有從坐標(biāo)系原點(diǎn)開始,可在自變量實(shí)測范圍內(nèi)遠(yuǎn)端取易于讀數(shù)的  值代入回歸方程得到一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),連接此點(diǎn)與點(diǎn)(  ,  )也可繪出回歸直線。

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圖12-2  應(yīng)變量Y的離均差劃分示意圖

四、總體回歸系數(shù)β的統(tǒng)計(jì)推斷

建立樣本直線回歸方程,只是完成了統(tǒng)計(jì)分析中兩變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)描述,研究者還須回答它所來自的總體的直線回歸關(guān)系是否確實(shí)存在,即是否對總體有 ?

無論如何取值,總在一條水平線上,即,總體直線回歸方程并不成立,意即無直線關(guān)系,此時(shí)。然而在一次隨機(jī)抽樣中,如果所得樣本為實(shí)心園點(diǎn)所示,則會(huì)得到一個(gè)并不等于0的樣本回歸系數(shù)。與0相差到多大可以認(rèn)為具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義?可用方差分析或與其等價(jià)的t檢驗(yàn)來回答這一問題。

前面所求得的回歸方程是否成立,即、是否有直線關(guān)系,是回歸分析要考慮的首要問題。我們知道即使、的總體回歸系數(shù)β為零,由于抽樣誤差,其樣本回歸系數(shù)也不一定為零。因此需作β是否為零的假設(shè)檢驗(yàn),用方差分析或t檢驗(yàn)。在講述假設(shè)檢驗(yàn)之前,讓我們先對應(yīng)變量的離均差平方和作分析。

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如圖12-2,p點(diǎn)的縱坐標(biāo)被回歸直線與均數(shù)截成三個(gè)線段:

第一段(),表示p點(diǎn)與回歸直線的縱向距離,即實(shí)際值與估計(jì)值之差,稱為剩余或殘差。

第二段(),即估計(jì)值與均數(shù)之差,它與回歸系數(shù)的大小有關(guān)。│b│值越大,()的差值也越大,回歸方程越有效,殘差越小,估計(jì)誤差越小。

第三段,是應(yīng)變量的均數(shù)。

上述三段的代數(shù)和為:將等式兩端平方后再求和,因 *,則有:

上式用符號表示為:

:即 ,為的離均差平方和(total sum of squares),說明未考慮的回歸關(guān)系時(shí)的變異。

:即,為回歸平方和(regression sum of squares),它反映在的總變異中由于的直線關(guān)系而使變異減小的部分,也就是在總平方和中可以用解釋的部分。越大,說明回歸效果越好。

:即,為剩余平方和(residual sum of squares),它反應(yīng)的線性影響之外的一切因素對的變異的作用,也就是在總平方和中無法用解釋的部分。在散點(diǎn)圖中,各實(shí)測點(diǎn)離回歸直線越近,也就越小,說明直線回歸的估計(jì)誤差越小。  

上述三個(gè)平方和,各有其相應(yīng)的自由度,并有如下的關(guān)系:

=n-1,=1,=n-2

方差分析:其步驟與一般假設(shè)檢驗(yàn)相同。統(tǒng)計(jì)量F的計(jì)算公式為:

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分別稱為回歸均方與剩余均方。統(tǒng)計(jì)量F服從自由度為F分布。求F值后,查F界值表,得P值,按所取檢驗(yàn)水準(zhǔn)作出推斷結(jié)論。

回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)

例12-4  對表12-1數(shù)據(jù)回歸系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)。

解:1. 提出檢驗(yàn)假設(shè),確定顯著性水平

2.  計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

3. 確定P值,下結(jié)論

t界值表,P<0.001,按a=0.05的檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H0 ,接受H1

注意:。

第二節(jié)  線性回歸的應(yīng)用

1.總體均數(shù)的可信區(qū)間(總體回歸線的95%置信帶)

給定的數(shù)值,由樣本回歸方程算出的只是相應(yīng)總體均數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。會(huì)因樣本而異, 存在抽樣誤差。

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o   以上是給定某一X值時(shí)所對應(yīng)的總體均數(shù)的置信區(qū)間。當(dāng)同時(shí)考慮X的所有可能取值時(shí),總體均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)就是根據(jù)樣本算得的回歸直線

 

o   (1-α)置信區(qū)間的上下限連起來形成一個(gè)弧形區(qū)帶,稱為回歸直線的(1-α)置信帶(confidence band)。同樣,因?yàn)槠錁?biāo)準(zhǔn)誤是X的函數(shù),所以在均數(shù)(   )點(diǎn)處置信帶寬度最小,越遠(yuǎn)離該均數(shù)點(diǎn),置信帶寬度越大。  

o   圖12-4中,左圖顯示位于最小二乘回歸線上下兩側(cè)的兩條弧形虛線為總體回歸線的(1-α)置信區(qū)帶。右圖的實(shí)線表示可能的總體回歸線,它們落在弧形虛線所確定的置信帶內(nèi)。

o   (1-α)置信帶的意義是:在滿足線性回歸的假設(shè)條件下,可以認(rèn)為真實(shí)的回歸直線落在兩條弧形曲線所形成的區(qū)帶內(nèi), 置信度為(1-α)

2.個(gè)體值的預(yù)測區(qū)間(區(qū)間估計(jì))

所謂預(yù)測就是把預(yù)報(bào)因子(自變量X)代入回歸方程對總體中預(yù)報(bào)量(應(yīng)變量Y)的個(gè)體值進(jìn)行估計(jì)。給定X的數(shù)值,對應(yīng)的個(gè)體Y值也存在一個(gè)波動(dòng)范圍。其標(biāo)準(zhǔn)差(注意勿與樣本觀察值Y的標(biāo)準(zhǔn)差相混)按公式(12-10)計(jì)算

 

o   以第一觀測點(diǎn)數(shù)據(jù)(X1=1.1)點(diǎn)為例,該點(diǎn)預(yù)測值的標(biāo)準(zhǔn)差為

o     =0.52489182

o   第一數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測區(qū)間為:

14.0957±(2.16)(0.0.5249)=12.9618~15.2297

當(dāng)同時(shí)考慮X的所有可能取值時(shí),個(gè)體Y值的95%預(yù)測區(qū)間形成一個(gè)

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o   帶子,稱為Y值的95%預(yù)測帶,它比總體回歸線95%置信帶更寬。 圖12-5和圖12-6同時(shí)顯示個(gè)體Y值的預(yù)測帶與總體回歸線的置信帶,可見,在相同信度下,個(gè)體值預(yù)測帶的曲線要比回歸線置信帶的曲線離回歸直線更遠(yuǎn)。 

決定系數(shù)(coefficient of determination)

   定義為回歸平方和與總平方和之比,計(jì)算公式為:

取值在0到1之間且無單位,其數(shù)值大小反映了回歸貢獻(xiàn)的相對程度,也就是在Y的總變異中回歸關(guān)系所能解釋的百分比。

第三節(jié)  殘差分析

o殘差(residual)是指觀測值Yi與回歸模型擬合值之差

o 殘差分析(residual analysis)旨在通過殘差深入了解數(shù)據(jù)與模型之間的關(guān)系,評價(jià)實(shí)際資料是否符合回歸模型假設(shè),識(shí)別異常點(diǎn)等。

o例如,第一數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差e1=14-14.0957=-0.0957,如此類推,計(jì)算出各數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差值示于表12-2的第10列中。將第10列的殘差減去其均數(shù),除以其標(biāo)準(zhǔn)差,便得標(biāo)準(zhǔn)化殘差。

若以反應(yīng)變量取值Yi為橫坐標(biāo),以標(biāo)準(zhǔn)化殘差為縱坐標(biāo),構(gòu)成的散點(diǎn)圖如圖12-7所示。類似地,也可以自變量取值Xi為橫坐標(biāo), 以標(biāo)準(zhǔn)化殘差為縱坐標(biāo),構(gòu)成的散點(diǎn)圖。這類散點(diǎn)圖統(tǒng)稱為標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖。

o圖12-8給出的是以自變量取值為縱坐標(biāo),以殘差為橫坐標(biāo)的殘差圖的常見類型。其中,圖(e)顯示殘差呈隨機(jī)分布;圖(a)、(b ) 和(f)表示殘差不滿足方差齊性條件;圖(c)顯示存在非線性關(guān)系;圖(d)顯示有的點(diǎn)處于±2倍標(biāo)準(zhǔn)差以外,可能是異常點(diǎn)。

例12-5  例12-2樣本回歸系數(shù)b=0.0648,估計(jì)總體回歸系數(shù)b的95%可信區(qū)間。

解:Sb=0.00688,df=12-2=10

t界值表,得t0.05/2,10=2.228,故b的95%可信區(qū)間是

  (0.0648-2.228×0.00688, 0.0648+2.228×0.00688)

   = (0.0495,0.0801)

 

3.

4. 個(gè)體Y值的容許區(qū)間

容許區(qū)間:總體中X為某一定值x0時(shí),個(gè)體y值的波動(dòng)范圍。即當(dāng)自變量為x0時(shí),總體中有1-a的個(gè)體值y0在此范圍之內(nèi)。

例12-7  對例12-2,計(jì)算gydjdsj.org.cn/Article/x0=250時(shí),個(gè)體Y值95%的容許區(qū)間。

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教學(xué)內(nèi)容

時(shí)間分配

媒體選擇

解:

x0=250時(shí),個(gè)體Y值的容許區(qū)間為:

(18.2-2.228×1.475, 18.2+2.228×1.475)=(14.95,21.44)

即當(dāng)大鼠進(jìn)食量為250g時(shí),有95%的大鼠體重增加量在14.95~21.44范圍內(nèi)。

 回歸方程的應(yīng)用

1. 描述兩個(gè)變量在量上的依存關(guān)系;

2. 估計(jì)和預(yù)測(forecast): 給定X值,估計(jì)Y的波動(dòng)范圍,即Y的(1-a)容許區(qū)間。

3. 控制(control):給定Y值范圍,求X值范圍。

回歸分析的注意事項(xiàng)

G  首先繪制散點(diǎn)圖

Y要服從正態(tài)分布

G  兩變量之間關(guān)系要有實(shí)際意義

G  必須對回歸系數(shù)作假設(shè)檢驗(yàn)

小結(jié)

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